TRANSFORMASI TRANSLASI, REFLEKSI, ROTASI, DILATASI, DENGAN MATRIKS

 Nama: Gavin Alghifari Viryan (14)

Kelas: XI IPS 3

Translasi

Translasi atau pergeseran adalah suatu transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentuk.  Secara pemetaan dapat dituliskan:

T = (ab) : P(x,y) → P'(x+a , y+b)

Titik P' disebut bayangan titik P oleh translasi T = (ab)

Contoh Soal 1

Tentukan bayangan titik (3,-7) oleh translasi  (42)

Pembahasan:

Misalkan titik P(3,-7).

T = (42) : P(3,-7) → P'(3+4 , -7+2) = P'(7,-5)

Jadi, bayangan titik (3,-7) oleh translasi  (42) adalah (7,-5)

Contoh Soal 2

Diketahui koordinat titik P adalah (4,-1). Oleh karena translasi (2a) diperoleh bayangan titik P yaitu P'(-2a, -4). Tentukanlah nilai a.

Pembahasan:

T = (2a) : P(4,-1) → P'(-2a , -4)  

P'(-2a, -4) = P'(2+4, a+(-1))

P'(-2a, -4) = P'(6, (a-1))

⟺-2a = 6

⟺ a = 6/-2

⟺ a = -3

Jadi, nilai a adalah -3

Contoh Soal 3

Jika garis y = x + 5 ditranslasikan oleh (23), maka tentukan persamaan bayangannya.

Pembahasan:

(x′y′)=(xy)+(23)

Dengan demikian:

x' = x + 2  => x = x' - 2

y' = y + 3  => y = y' - 3

Dengan mensubtitusikan x = x' - 2 dan y = y' - 3 pada persamaan garis, diperoleh:

y' - 3 = (x' - 2) + 5

y' - 3 = x' + 3

y' = x' + 6

Jadi, persamaan bayangan garis y = x + 5 oleh translasi (23) adalah y = x + 6.

 

Refleksi

Refleksi atau pencerminan adalah suatu transformasi yang memindahkan titik-titik dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin. Pencerminan dilambangkan dengan Ma, dimana a adalah sumbu cermin.

Contoh Soal 1

Titik A(3,-5) dicerminkan terhadap sumbu x. Tentukan koordinat bayangan titik A.
Pembahasan:
Mx : P(3,-5) => P'(x',y')

     

 

Dengan menggunakan persamaan matriks untuk menentukan x' dan y', maka:
(x′y′)=(100−1)=(3−5)
⟺ (x′y′)=(100−1)=(3−5)
⟺ (x′y′)=(1.3+0(−5)0.3+(−1)(−5))=(35)
Jadi, bayangan titik A(3,-5) oleh pencerminan terhadap sumbu x adalah A'(3,5).

Contoh Soal 2

Titik P(-3,7) dicerminkan terhadap garis y = -x. Tentukanlah koordinat bayangan titik P.
Pembahasan:
Matriks transformasi:

Dengan menggunakan persamaan matriks untuk menentukan x' dan y', maka:
(x′y′)=(0−1−10)=(xy)
⟺ (x′y′)=(0−1−10)=(−37)
⟺ (x′y′)=(0.(−3)+(−1).7(−1)(−3)+0.7)
⟺ (x′y′)=(−73)
Jadi, bayangan titik P(-3,7) oleh pencerminan terhadap garis y = -x adalah P'(-7,3).

Contoh Soal 3

Jika garis x - 2y - 3 = 0 dicerminkan terhadap sumbu Y, maka tentukanlah persamaan bayangannya.
Pembahasan:
Garis x - 2y - 3 = 0 dicerminkan terhadap sumbu Y.
Matriks transformasi:

Dengan menggunakan persamaan matriks untuk menentukan x' dan y', maka:
(x′y′)=(−1001)=(xy)
⟺ (x′y′)=(−xy)
Dengan demikian:
x' = -x  => x = -x'
y' = y   => y = y'
Dengan mensubtitusikan x = -x' dan y = y' pada persamaan garis, maka diperoleh:
(-x') - 2(y') - 3 = 0
-x' - 2y' - 3 = 0
Jadi,bayangan garis x - 2y - 3 = 0 oleh pencerminan terhadap sumbu Y adalah -x- 2y -3 = 0.

 

Rotasi

Perputaran atau rotasi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara memutar titik-titik tersebut sejauh θ terhadap suatu titik pusat rotasi. 

Perputaran atau rotasi pada bidang datar ditentukan oleh:

1. Titik pusat rotasi

2. Besar sudut rotasi

3. Arah sudut rotasi

bayangan dan matriks yang bersesuaian dengan rotasi

P(x,y) ➝ P'(x',y')

 

 

 

Contoh Soal 1

Titik A dirotasikan terhadap titik O(0,0) sejauh 90⁰ berlawanan dengan arah putaran jam. Tentukanlah bayangan titik A.

Pembahasan:

(x′y′)=(01−10).(xy)
⟺ (x′y′)=(01−10).(21)
⟺ (x′y′)=(−12)

Dengan demikian x' = -1 dan y' = 2.

Jadi, bayangan titik A(2,1) oleh rotasi terhadap titik O(0,0) sejauh 90⁰ berlawanan arah putaran jam adalah A'(-1,2).

Contoh Soal 2

Bayangan titik A oleh rotasi R(0,45⁰) adalah (-√2,√2). Tentukanlah koordinat titik A.

Pembahasan:

(x′y′)=(cosθsinθ−sinθcosθ).(xy)
Karena θ = 45⁰, maka:
(x′y′)=(cos45⁰sin45⁰−sin45⁰cos45⁰).(xy)
⟺ (−√2√2)=(½√2½√2−½√2½√2).(xy)
⟺ (−√2√2)=(½√2x−½√2y½√2x+½√2y)
Dengan demikian:
½√2x - ½√2y = -√2  ...........(1)
½√2x + ½√2y = √2  ...........(2)

Dengan menyelesaikan persamaan (1) dan (2) di atas, maka diperoleh x = 0 dan y = 2.

Jadi, koordinat titik A adalah (0,2).

Contoh Soal 3

Titik B(5,-1) dirotasikan terhadap titik P(2,3) sejauh 90⁰ searah putaran jam. Tentukanlah bayangan titik B tersebut.

Pembahasan:

(x′y′)=(0−110).(x−ay−b)+(ab)
⟺ (x′y′)=(0−110).(5−2−1−3)+(23)
⟺ (x′y′)=(0−110).(3−4)+(23)
⟺ (x′y′)=(−4−3)+(23)
⟺ (x′y′)=(−20)

Dengan demikian, x' = -2 dan y' = 0.

Jadi, koordinat bayangan titik B(5,-1) oleh rotasi terhadap titik P(2,3) sejauh 90⁰ searah putaran jam adalah B'(-3,0).

 

Dilatasi

Dilatasi atau perkalian adalah suatu transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan faktor pengali tertentu terhadap suatu titik tertentu. Faktor pengali tertentu disebut faktor dilatasi atau faktor skala dan titik tertentu itu disebut pusat dilatasi.

Dengan demikian dapat dikatakan  bahwa suatu dilatasi ditentukan oleh:

1. Faktor skala (k), dan

2. Pusat dilatasi.

Jika yang didilatasikan suatu bangun, maka dilatasi akan mengubah ukuran tanpa mengubah bentuk bangun tersebut. Dilatasiyang berpusat di P dengan faktor skala k dinotasikan dengan [P,k].

Berdasarkan nilai dari faktor skala k, bangun bayangan yang diperoleh dapat ditetapkan sebagai berikut:

1. Jika k > 1, bangun bayangan diperbesar dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.
2. Jika 0 < k < 1, bangun bayangan diperkecil dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.
3. Jika -1 < k < 0, bangun bayangan diperkecil dan terletak tidak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.
4. Jika k < -1,  bangun bayangan diperbesar dan terletak tidak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.
1. Dilatasi Terhadap Titik Pusat O(0,0)

Jika titik P(x,y) didilatasikan terhadap titik pusat O(0,0) dengan faktor skala k, maka bayangannya adalah P'(x',y') dengan

x' = kx dan y' =ky.

Secara pemetaan dapat ditulis:

[O,k] : P(x,y) => P'(kx , ky)

Dengan persamaan matriks pemetaan di atas dapat ditulis:

(x′y′)=(k00k).(xy)

Matriks (k00k) dinamakan matriks yang bersesuaian dengan dilatasi [O,k].

Contoh Soal:

Tentukanla bayangan titik P(-6,3) oleh dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) dengan faktor skala -1/2 .
Pembahasan:

Dengan demikian,  x' = 3 dan y' = -3/2.
Jadi, bayangan titik  P(-6,3) oleh dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) dengan faktor skala -1/2 adalah P'(3 , -3/2).
2. Dilatasi Terhadap Titik Pusat A(a,b)
Jika titik P(x,y) didilatasikan terhadap titik pusat A(a,b) dengan faktor skala k, maka bayangannya adalah P'(x',y') dengan

x' - a = k(x - a)  dan y' - b = k(y - b)

Dengan persamaan matriks, hubungan di atas dapat ditulis:

(x′y′)=(k00k).(x−ay−b)+(ab)

Contoh Soal:

Tentukanlah bayangan titik P(2,-1) oleh dilatasi terhadap titik pusat A(3,4) dengan faktor skala -3.

Pembahasan:

(x′y′)=(k00k).(x−ay−b)+(ab)

⟺ (x′y′)=(−300−3).(2−3−1−4)+(34)

⟺ (x′y′)=(−300−3).(−1−5)+(34)

⟺ (x′y′)=(315)+(34)

⟺ (x′y′)=(619) 

Dengan demikian x' = 6 dan y' = 19.

Jadi, bayangan titik P(2,-1) oleh dilatasi terhadap titik pusat A(3,4) adalah P'(6,19).

 

sumber:

• http://ilmuku-duniaku14.blogspot.com/2018/07/soal-dan-pembahasan-rotasi-perputaran.html?m=1
• http://ilmuku-duniaku14.blogspot.com/2018/07/soal-dan-pembahasan-dilatasi-perkalian.html?m=1
• http://ilmuku-duniaku14.blogspot.com/2018/06/soal-dan-pembahasan-refleksi.html?m=1
• http://ilmuku-duniaku14.blogspot.com/2018/06/kumpulan-soal-dan-pembahasan-translasi.html?m=1