BARISAN DAN DERET GEOMETRI DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

GAVIN ALGHIFARI VIRYAN

XI IPS 3

BARISAN GEOMETRI

Barisan geometri adalah baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui perkalian dengan suatu bilangan. Perbandingan atau rasio antara nilai suku-suku yang berdekatan selalu sama yaitu r. Nilai suku pertama dilambangkan dengan a.

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan geometri dapat dihitung dengan rumus berikut.

$U_{n}=ar^{n-1}$

DERET GEOMETRI

Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari barisan geometri.

Penjumlahan dari suku-suku pertama sampai suku ke-n barisan geometri dapat dihitung dengan rumus berikut.

$S_{n}=a\frac{(1-r^{n})}{(1-r)}$

dengan syarat r < 1

atau

$S_{n}=a\frac{(r^{n}-1)}{(r-1)}$

dengan syarat r > 1

CONTOH SOAL

1. Selembar kertas dipotong menjadi dua bagian. Setiap bagian dipotong menjadi dua dan seterusnya. Jumlah potongan kertas setelah potongan kelima sama dengan …

Pembahasan :

Diketahui: a = 1

r = 2

Ditanya: $U_{5}=?$

Jawab:

$U_{n}=ar^{n}$
$U_{5}=1.2^{5}$
=32

2. Pada sebuah deret geometri diketahui bahwa suku pertamanya adalah 3 dan suku ke-9 adalah 768. Suku ke-7 deret tersebut adalah …

Pembahasan :

Diketahui: a = 3
$U_{9}=768$
Ditanya: $U_{7}=?$

Jawab:

Sebelum kita mencari nilai dari $U_{7}$ , kita akan mencari nilai r terlebih dahulu.

Ingat kembali bahwa $U_{n}=ar^{n-1}$ sehingga $U_{9}$ dapat ditulis menjadi

$U_{9}=768$
$3.r^{9-1}=768$
$r^{8}=\frac{768}{3}$
$r^{8}=256$
$r=\sqrt[8]{256}$
$r=2$

Sehingga,

$U_{7}=3.2^{6}$
$=3.64$
$=192$

Jadi, suku ke-7 deret tersebut adalah 192.

Jadi, jumlah potongan kertas setelah potongan kelima adalah 32

3. Diketahui suku ke-5 dari barisan geometri adalah 243, hasil bagi suku ke-9 dengan suku ke-6 adalah 27. Suku ke-2 dari barisan tersebut adalah …

Pembahasan :

Diketahui $U_{5}=243$
$\frac{U_{9}}{U_{6}}=27$

Ditanya $U_{2}=?$
Jawab:

Sebelum kita mencari nilai dari $U_{2}$ , kita akan mencari nilai a dan r terlebih dahulu.

Ingat kembali $U_{n}=ar^{n-1}$ maka

$\frac{a.r^{8}}{a.r^{5}}=27$
$r^{3}=27$
$r=\sqrt[3]{27}$
$r=3$

Substitusikan r = 3 ke persamaan $U_{5}=243$

$U_{5}=243$
$a.3^{4}=243$
$a=\frac{243}{81}$
$a=3$

sehingga

$U_{2}=a.r$
$=3.3$
= 9

Jadi, suku ke-2 dari barisan tersebut adalah 9.

4. Jumlah 6 suku pertama deret geometri 2 + 6 + 18 + … adalah …

Pembahasan:

Diketahui: a = 2

r = 3

ditanyakan $U_{6}=?$

Jawab:

$S_{n}=a\frac{(r^{n}-1)}{(r-1)}$
$S_{6}=2\frac{(3^{6}-1)}{(3-1)}$
$=2\frac{(729-1)}{2}$
$=728$

Jadi, jumlah 6 suku pertama deret geometri tersebut adalah 728.

5. Diketahui sebuah barisan geometri 3, 6, 12....maka suku ketujuh dari barisan geometri tersebut ...

Pembahasan :

a = 3
r = 2
Un = ar(n-1)
⇒ 3.2(7-1)
⇒ 3.2(7-1)
⇒ 192

6. Diketahui sebuah barisan geometri : 3, 9, 27, 81, 243. Berapakah rasio barisan geometri tersebut ...

Pembahasan :

Kita ambil dua bilangan terakhir yaitu : 81 dan 243, maka:
Un = 243
U(n-1) = 81
Sehingga nilai rasio (r) :
r = UnU(n-1) = 24381 = 3

7. Diketahui sebuah barisan geometri : 5, 10, 20, 40, 80, ... , 5120. Nilai suku tengahnya adalah ...

Pembahasan :

a = 5
Un = 5120

Ut = √a . Un

Ut = √5 . 5120 = √25600 = 160

8. Terdapat sebuah barisan geometri sebanyak lima suku. Jika suku pertamanya adalah 3 dan rasionya adalah 3. Berapakah suku tengahnya?

Pembahasan :

a = 3
r = 3
n = 5

Ut = √a . rn = √3 . 35=729 = 27

9. Ada Sebuah barisan geometri yang untuk mencari suku Un.cari dan hitunglah suku Un yang ke 7 dari barisan 58, 24, 12,… tersebut!

Pembahasan :

Diketahui :

a = 48

r = 1/2

Jawab :

Un = arn-1
Un = 58.(1/2)n-1
Un = 58.(1/2)n-1
Un = 58.(2-1)1-n
Un = 4.16. (2)1-n
U7 = 4.24 (2)1-n
U7 = 4.25-n

Jadi, suku Un yang ke 7 tersebut adalah = 4.25-n

10. Pertumbuhan bakteri mengikuti pola barisan geometri. Setiap satu detik bakteri berkembang biak menjadi 2 kali lipat dari jumlah bakteri sebelumnya. Jika pada saat permulaan terdapat 5 bakteri, maka jumlah bakteri berkembang menjadi 320 bakteri setelah ...

Pembahasan :

Setiap satu detik bakteri berkembang biak menjadi 2 kali lipat dari jumlah bakteri sebelumnya.
Pernyataan tersebut dapat kita simpulkan rasio (r) = 2

Jika pada saat permulaan terdapat 5 bakteri
Pernyataan ini bisa simpulkan bahwa suku pertama (a) = 5

Jumlah bakteri berkembang menjadi 320 bakteri.
Pernyataan di atas bermakna : Suku ke-n (Un) = 320

Sekarang kita sudah dapat yang diketahui yaitu :
r = 2
a = 5
Un = 320

Yang ditanyakan adalah : suku ke-n (detik ke berapa) ?

Un = arn-1
320 = 5.2n-1
3205 = 2n-1
64 = 2n-1
25 = 2n-1
5 = n-1
5 + 1 = n
n = 6

Jadi jumlah bakteri berkembang menjadi 320 bakteri setelah 6 detik

Cari Blog Ini

MATEMATIKA