PENGERTIAN TURUNAN DAN SIFAT-SIFATNYA BERSAMA CONTOH SOALNYA

-

 Gavin Alghifari Viryan
XI IPS 3 (14)

PENGERTIAN TURUNAN

Turunan merupakan suatu perhitungan terhadap perubahan nilai fungsi karena perubahan nilai input (variabel).

Turunan dapat disebut juga sebagai diferensial dan proses dalam menentukan turunan suatu fungsi disebut sebagai diferensiasi.

Menggunakan konsep limit yang sudah dipelajari, turunan dapat didefinisikan sebagai

Rumus Turunan

turunan tersebut didefinisikan sebagai limit dari perubahan rata-rata dari nilai fungsi terhadap variabel x.

Selanjutnya akan dijelaskan mengenai contoh penerapan turunan.


SIFAT-SIFAT TURUNAN

  1. Aturan Konstanta

    Jika f(x) = k dengan k suatu konstanta maka untuk sebarang x, f'(x) = 0 yakni Dx(k) = 0

  2. Aturan Fungsi Identitas
    Jika f(x) = x maka f'(x) = 1 yakni Dx(x) = 1

  3. Aturan Pangkat

    Jika f(x) = xn, dengan n bilangan-bilangan bulat positif maka f(x) = nxn-1 yakni Dx(xn) = nxn-1

  4. Aturan Kelipatan Konstan

    Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdiferensial maka (kf)’ = k f'(x) yakni Dx[k f(x)] = k Dx[f(x)]

  5. Aturan Jumlah

    Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensial maka (f + g)(x) = f(x) + g(x) yakni Dx[f(x) + g(x)] = Dx[f(x)] + Dx[g(x)]

  6. Aturan Selisih

    Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensial maka (f – g)(x) = f(x) – g(x) yakni Dx[f(x) – g(x)] = Dx[f(x)] – Dx[g(x)]

  7. Aturan Hasil Kali

    Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensial maka (f . g)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) yakni Dx[f(x)g(x)] = Dx[f(x)]g(x) + f(x)Dx[g(x)]

  8. Aturan Hasil Bagi

    Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensial maka \left ( \frac{f}{g} \right )(x)= \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)} yakni Dx \frac{f(x)}{g(x)}= \frac{D_x[f(x)]g(x)-f(x)D_x[g(x)]}{g^2(x)}


CONTOH SOAL

Contoh soal 1
Diketahui , nilai dari f’(5) adalah ...

a.    6
b.    10
c.    14
d.    17
e.    20

Pembahasan :

    f’(x) = 2x + 4
    f’(5) = 2(5) + 4
            = 14
JAWABAN: C


Contoh soal 2
Turunan pertama dari   adalah ...
Pembahasan :


JAWABAN: D


Contoh soal 3
Diketahui  dan f’ adalah turunan pertama dari f. Nilai dari f’(1) = ...
a.    20
b.    21
c.    23
d.    23
e.    26
Pembahasan :


               = 24 – 6 + 6 – 1
               = 23
JAWABAN: C


Contoh soal 4
Diketahui  dan f’ adalah turunan pertama f. Nilai f’(1) adalah ...
a.    3
b.    8
c.    13
d.    16
e.    21
Pembahasan :


              = 3 – 20 + 25
              = 8
JAWABAN: B


Contoh soal 5
Diketahui . Jika f’ adalah turunan pertama dari f, maka nilai f’(x) = ...
Pembahasan :
Kita gunakan rumus ini ya: 


JAWABAN: D


Contoh soal 6
Jika dengan f’ adalah turunan pertama f, maka nilai f’(2) adalah ...
a.    5
b.    20
c.    30
d.    40
e.    50
Pembahasan :
Kita gunakan rumus ini ya: 


               = 20.1
               = 20
JAWABAN: B


Contoh soal 7
Jika f(x) = sin x cos 3x maka f’(π/6) = ...
Pembahasan :
f(x) = sin x cos 3x
      = ½ (sin 4x + sin (-2x))
      = ½ sin 4x – ½ sin 2x
f’(x) = ½ . 4 cos 4x – ½ . 2 cos 2x
        = 2cos 4x – cos 2x
Maka:
f’(π/6) = 2cos 4(π/6) – cos 2(π/6)
           = 2.(- ½ ) – ½
           = -1 – ½
           = -1 1/2
JAWABAN: C


Contoh soal 8
Jika  , sin x ≠ 0 dan f’ adalah turunan f, maka f’(π/2) = ...
a.    -2
b.    -1
c.    0
d.    1
e.    2
Pembahasan :

Misalkan: u = sin x + cos x --> u’ = cos x – sin x
    v = sin x --> v’ = cos x
Ingat rumus ini ya: 
Sehingga:


JAWABAN: B


Contoh soal 9
Nilai maksimum dari fungsi  adalah ...
a.    8
b.    12
c.    16
d.    24
e.    32
Pembahasan :
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi diperoleh jika f’(x) = 0
Maka:


Jadi, nilai maksimumnya adalah 12
JAWABAN: B


Contoh soal 10
Turunan fungsi  adalah ...
Pembahasan :
 atau 
Maka:

JAWABAN: B


Contoh soal 11
 Diketahui fungsi dan turunan pertama dari f adalah f’. Maka f’(x) = ...
a.    4 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
b.    -2 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
c.    2 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
d.    -4 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
e.    sin (2x + 3) cos (2x + 3)
Pembahasan :

    f’(x) = 2 sin (2x + 3) . 2. cos (2x + 3)
           = 4sin(2x + 3)cos(2x + 3)
JAWABAN: A


Contoh soal 12
Grafik fungsi  turun dalam interval ...
a.    x < -3 atau x > 1
b.    x < -1 atau x > 3
c.    x < -3 atau x > -1
d.    -1 < x < 3
e.    1 < x < 3
Pembahasan :
Syarat grafik f(x) turun adalah jika nilai f’(x) < 0, maka:


    HP = -1 < x < 3
JAWABAN: D


Contoh soal 13
Turunan pertama fungsi  adalah f’(x). Nilai f’(1) = ...
a.    18
b.    24
c.    54
d.    162
e.    216
Pembahasan :

Misalkan: 
               v = 2x – 1 -->  v’ = 2
Kita pakai rumus yang ini: f(x) = u.v --> f’(x) = u’.v + u.v’
Sehingga:

             = 18 . 9 . 1 + 27 . 2
             = 162 + 54
             = 216
JAWABAN: E


Contoh soal 14
Suatu proyek akan diselesaikan dalam x hari. Jika biaya proyek per hari adalah dalam ribuan rupiah maka biaya proyek minimum dalam x hari sama dengan ...
a.    Rp550.000,00
b.    Rp800.000,00
c.    Rp880.000,00
d.    Rp900.000,00
e.    Rp950.000,00
Pembahasan :
 atau 
Biaya minimum diperoleh ketika B’(x) = 0
B’(x) = 4x – 40
B’(x) = 0
4x – 40 = 0
4x = 40
x = 10
Subtitusikan x = 10 dalam persamaan 
Jadi, biaya proyek minimum dalam x hari sama dengan Rp800.000,00
JAWABAN: B


Contoh soal 15
Untuk memproduksi suatu barang diperlukan biaya produksi yang dinyatakan dengan fungsi  dalam ribuan rupiah. Agar biaya minimum maka harus diproduksi barang sebanyak ...
a.    30
b.    45
c.    60
d.    90
e.    135
Pembahasan :

Agar biaya minimum maka B’(x) = 0
B’(x) = 4x – 180
B’(x) = 0
4x – 180 = 0
4x = 180
x = 45
Jadi, agar biaya minimum maka harus diproduksi barang sebanyak 45
JAWABAN: B

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

LOGIKA MATEMATIKA

-
Nama : Gavin Alghifari Viryan  Kelas : XI IPS 3  Logika Matematika  Logika Matematika: Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi Matematika merupakan ilmu yang memiliki cakupan yang sangat luas. Matematika bukan hanya mempelajari angka dan perhitungan saja. Namun, terdapat hal-hal yang dipelajari dalam matematika selain hitung-menghitung, salah satunya adalah logika matematika. Logika matematika akan memberikan landasan tentang bagaimana cara kita mengambil kesimpulan. Hal-hal pada logika matematika yang akan kita pelajari kali ini antara lain mengenai pernyataan, ingkaran, hubungan antara dua kalimat atau lebih serta bagaimana menarik kesimpulan dari kalimat-kalimat yang diberikan.   Yuk , simak ulasannya di bawah ini. Pernyataan Pada dasarnya,  pernyataan  merupakan suatu kalimat yang bernilai benar ataupun salah, namun tidak keduanya. Sedangkan, suatu kalimat dikatakan bukan pernyataan jika kita tidak dapat menentukan apakah kalimat tersebut benar...
Baca selengkapnya

soal pat matematika

-
Gambar
Gavin Alghifari Viryan (14) XI IPS 3 Soal PAT Matematika 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11.  12. 13.  14.  15.  16.  17.  18.  19.  20.  21.  22.  23.  24.  25.  26.  27.  28.  29.  30.  31.  32.  33.  34.  35.  36.  37.  38.  39.  40. 
Baca selengkapnya

Barisan dan deret aritmatika

-
Gambar
Nama: Gavin Alghifari Viryan Absen: 14 Kelas : XI IPS 3 Pengertian Aritmatika Aritmatika atau aritmetika yang kata yang berasal dari bahasa Yunani αριθμός = angka yang  dulu biasa disebut Ilmu Hitung merupakan cabang tertua (atau pendahulu) dari matematika  yang mempelajari operasi dasar bilangan. Barisan Aritmatika Barisan Aritmetika adalah suatu barisan bilangan dengan pola tertentu berupa penjumlahan yang memiliki beda atau selisih yang sama/tetap. Rumusan Barisan Aritmatika Suku-sukunya dinyatakan dengan rumus berikut : U1, U2, U3, ….Un a, a+ b, a+2b, a + 3b, …., a + (n-1) b Selisih (beda) dinyatakan dengan b b = U2 – U1 = U3 – U2 = Un – Un – 1 Suku ke n barisan aritmatika (Un) dinyatakan dengan rumus: Un = a + (n-1) b Keterangan : Un = suku ke n dengan n = 1,2,3, … a = suku pertama → U1 = a b = selisih/beda (1) 3, 7, 11, 15, 19, … (2) 30, 25, 20, 15, 10,… Bentuk Barisan Aritmatika Keterangan: a = U1 = Suku pertama b = beda n = banyak suku Un= Suku ke-n Contoh Barisan Arit...
Baca selengkapnya