INTEGRAL TAK TENTU BERSAMA SIFAT-SIFATNYA BESERTA CONTOH SOALNYA

 

INTEGRAL TAK TENTU BERSAMA SIFAT-SIFATNYA BESERTA CONTOH SOALNYA

Nama : Gavin Alghifari VIryan

Kelas : XI IPS 3

Absen : 16

Integral Tak Tentu

Integral tak tentu seperti sebelumnya dijelaskan merupakan invers/kebalikan dari turunan. Turunan dari suaitu fungsi, jika diintegralkan akan menghasilkan fungsi itu sendiri. Perhatikanlah contoh turunan-turunan dalam fungsi aljabar berikut ini:

• Turunan dari fungsi aljabar y = x3 adalah yI = 3x2
• Turunan dari fungsi aljabar y = x3 + 8 adalah yI = 3x2
• Turunan dari fungsi aljabar y = x3 + 17 adalah yI = 3x2
• Turunan dari fungsi aljabar y = x3 – 6 adalah yI = 3x2

Seperti yang sudah dipelajari dalam materi turunan, variabel dalam suatu fungsi mengalami penurunan pangkat. Berdasarkan contoh tersebut, diketahui bahwa ada banyak fungsi yang memiliki hasil turunan yang sama yaitu yI = 3x2. Fungsi dari variabel x3 ataupun fungsi dari variabel x3 yang ditambah atau dikurang suatu bilangan (misal contoh: +8, +17, atau -6) memiliki turunan yang sama. Jika turunan tersebut dintegralkan, seharusnya adalah menjadi fungsi-fungsi awal sebelum diturunkan. Namun, dalam kasus tidak diketahui fungsi awal dari suatu turunan, maka hasil integral dari turunan tersebut dapat ditulis:

f(x) = y = x3 + C

Dengan nilai C bisa berapapun. Notasi C ini disebut sebagai konstanta integral. Integral tak tentu dari suatu fungsi dinotasikan sebagai:

Pada notasi tersebut dapat dibaca integral terhadap x”. notasi  disebut integran. Secara umum integral dari fungsi f(x) adalah penjumlahan F(x) dengan C atau:

Karena integral dan turunan berkaitan, maka rumus integral dapat diperoleh dari rumusan penurunan. Jika turunan:

Maka rumus integral aljabar diperoleh:

dengan syarat .

Sebagai contoh lihatlah integral aljabar fungsi-fungsi berikut:

• 
• 
  
• 
  

Contoh soal

1.Hasil dari 

$\int \left(3x^2-5x+4\right)dx=\cdots$
$\begin{array}{cc}\left(A\right)& x^3-\frac{5}{2}{x}^2+4x+C\\ \left(B\right)& x^3-5x^2+4x+C\\ \left(C\right)& 3x^3-5x^2+4x+C\\ \left(D\right)& 6x^3-5x^2+4x+C\\ \left(E\right)& 6x^3-\frac{5}{2}{x}^2+4x+C\end{array}$

Pembahasan : 

Dengan menerapkan aturan dasar integral $\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}{x}^n+c,n\ne -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$\begin{array}{cc}& \int \left(3x^2-5x+4\right)dx\\ & =\frac{3}{2+1}{x}^{2+1}-\frac{5}{1+1}{x}^{1+1}+4x+C\\ & =x^3-\frac{5}{2}{x}^2+4x+C\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(A\right)x^3-\frac{5}{2}{x}^2+4x+C$

2.

Hasil dari $\int \left(x-2\right){\left(x^2-4x+3\right)}^{5}dx$ adalah...
$\begin{array}{cc}\left(A\right)& \frac{1}{3}{\left(x^2-4x+3\right)}^6+C\\ \left(B\right)& \frac{1}{6}{\left(x^2-4x+3\right)}^6+C\\ \left(C\right)& \frac{1}{12}{\left(x^2-4x+3\right)}^6+C\\ \left(D\right)& \frac{1}{6}{\left(x-2\right)}^2{\left(x^2-4x+3\right)}^6+C\\ \left(E\right)& \frac{1}{6}{\left(x-2\right)}^2{\left(x^2-4x+3\right)}^6+C\end{array}$

 Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}{x}^n+c,n\ne -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
misal:
$\begin{array}{cc}u& =x^2-4x+3\\ \frac{du}{dx}& =2x-4\\ \frac{du}{dx}& =2(x-2)\\ \frac{1}{2}du& =(x-2)dx\end{array}$

Soal di atas, kini bisa kita tulis menjadi;
$\begin{array}{cc}& \int \left(x-2\right){\left(x^2-4x+3\right)}^{5}dx\\ & =\int u^5\left(x-2\right)dx\\ & =\int u^5\cdot \frac{1}{2}du\\ & =\frac{1}{5+1}{u}^{5+1}\cdot \frac{1}{2}+C\\ & =\frac{1}{12}{u}^6+C\\ & =\frac{1}{12}{\left(x^2-4x+3\right)}^6+C\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(C\right)\frac{1}{12}{\left(x^2-4x+3\right)}^6+C$

3.

Hasil dari $\int x\sqrt{4x+1}dx$ adalah...
$\begin{array}{cc}\left(A\right)& -\frac{1}{60}\left(6x-1\right){\left(4x+1\right)}^{\frac{3}{2}}+C\\ \left(B\right)& \frac{1}{60}\left(6x-1\right){\left(4x+1\right)}^{\frac{3}{2}}+C\\ \left(C\right)& -\frac{4}{60}\left(3x+2\right){\left(4x+1\right)}^{\frac{3}{2}}+C\\ \left(D\right)& \frac{4}{60}\left(3x+2\right){\left(4x+1\right)}^{\frac{3}{2}}+C\\ \left(E\right)& \frac{1}{60}\left(3x+2\right){\left(4x+1\right)}^{\frac{3}{2}}+C\end{array}$

Alternatif Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral ∫xn dx=1n+1xn+c, n≠−1 dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
u=4x+1→x=14(u−1)du=4dx14du=dx
Apa yang kita peroleh di atas, kita coba substituskan ke soal dan kita lakukan manipulasi aljabar;

∫x√4x+1 dx=∫14(u−1)√u dx=∫14(u−1)⋅u12 14du=14⋅14∫(u32−u12) du=14⋅14[25u52−23u32]+C=14⋅(110u52−16u32)+C=14⋅160u32(6u1−10)+C=14⋅160(4x+1)32(6(4x+1)−10)+C=14⋅160(4x+1)32(24x+6−10)+C=14⋅160(4x+1)32(24x−4)+C=160(4x+1)32(6x−1)+C

∴ Pilihan yang sesuai (B) 160(6x−1)(4x+1)32+

4.Diketahui 

$f\left(x\right)=\int x^{2}dx$. Jika $f\left(2\right)=-\frac{19}{3}$, maka kurva itu memotong sumbu $x$ pada...

$\begin{array}{cc}\left(A\right)& \left(0,0\right)\\ \left(B\right)& \left(1,0\right)\\ \left(C\right)& \left(2,0\right)\\ \left(D\right)& \left(3,0\right)\\ \left(E\right)& \left(4,0\right)\end{array}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}{x}^n+c,n\ne -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =\int x^{2}dx\\ & =\frac{1}{2+1}{x}^{2+1}+c\\ & =\frac{1}{3}{x}^3+c\\ f\left(2\right)& =\frac{1}{3}(2{)}^3+c\\ -\frac{19}{3}& =\frac{8}{3}+c\\ -\frac{19}{3}-\frac{8}{3}& =c\\ -\frac{27}{3}& =c\\ -9& =c\\ f\left(x\right)& =\frac{1}{3}{x}^3+c\\ & =\frac{1}{3}{x}^3-9\end{array}$

$f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-9$ memotong sumbu $x$ saat $\frac{1}{3}{x}^3-9=0$ sehingga $x^3-27=0$ atau $x=3$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(D\right)\left(3,0\right)$

5.Diketahui 

$\int f\left(x\right)dx=\frac{1}{4}a{x}^2+bx+c$ dan $a\ne 0$. Jika $f\left(a\right)=\frac{a+2b}{2}$ dan $f\left(b\right)=6$, maka fungsi $f\left(x\right)=\cdots$

$\begin{array}{cc}\left(A\right)& \frac{1}{2}x+4\\ \left(B\right)& 2x+4\\ \left(C\right)& \frac{1}{2}x-4\\ \left(D\right)& x+4\\ \left(E\right)& -\frac{1}{2}x+4\end{array}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}{x}^n+c,n\ne -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:

Untuk $\int f\left(x\right)dx=\frac{1}{4}a{x}^2+bx+c$ dapat kita tentukan $f\left(x\right)=\frac{1}{2}ax+b$

Untuk $f\left(a\right)=\frac{a+2b}{2}$ maka berlaku:
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =\frac{1}{2}ax+b\\ f\left(a\right)& =\frac{1}{2}a\left(a\right)+b\\ \frac{a+2b}{2}& =\frac{1}{2}{a}^2+b\\ a+2b& =a^2+2b\\ 0& =a^2-a\\ 0& =a\left(a-1\right)\\ & a=0\text{atau}a=1\end{array}$

Nilai $a$ yang memenuhi adalah $a=1$, sehingga $f\left(x\right)=\frac{1}{2}x+b$. Untuk $f\left(b\right)=6$, kita peroleh:
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =\frac{1}{2}x+b\\ f\left(b\right)& =\frac{1}{2}b+b\\ 6& =\frac{3}{2}b\\ b& =4\\ f\left(x\right)& =\frac{1}{2}x+4\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah (A) 

Daftar Pustaka :

https://www.studiobelajar.com/integral/

https://www.defantri.com/2017/09/matematika-dasar-integral-fungsi.html?m=1 i'm